Bài tập 25, § 6

(a) Cho $\mathfrak{F}$ là một phủ của một tập vô hạn E. Bậc rời nhau của $\mathfrak{F}$ là lực lượng nhỏ nhất $\mathfrak{c}$ sao cho $\mathfrak{c}$ lớn hơn nghiêm ngặt các lực lượng Card $(X \cap Y)$ đối với mỗi cặp các tập phân biệt X, $Y \in \mathfrak{F}$. Nếu Card $(E) = \mathfrak{a}$ và Card $(\mathfrak{F}) = \mathfrak{b}$, hãy chứng minh rằng $\mathfrak{b} \leqslant \mathfrak{a}^{\mathfrak{c}}$ (chú ý rằng một tập con của E có lực lượng $\mathfrak{c}$ được chứa trong nhiều nhất một tập của $\mathfrak{F}$).

(b) Cho $\omega_\alpha$ là một thứ tự ban đầu và cho F là một tập hợp sao cho $2 \leqslant \mathfrak{p} =$ Card $(F) < \aleph_\alpha$. Cho E là tập hợp các ánh xạ của các đoạn của $\omega_\alpha$, khác với chính $\omega_\alpha$, vào F. Khi đó ta có Card $(E) \leqslant \mathfrak{p}^{\aleph_\alpha}$. Với mỗi ánh xạ $f$ của $\omega_\alpha$ vào F, cho $K_f$ là tập con của E gồm các hạn chế của $f$ lên các đoạn của $\omega_\alpha$ (khác với chính $\omega_\alpha$). Hãy chứng minh rằng tập hợp $\mathfrak{F}$ các tập con $K_f$ là một phủ của E sao cho Card $(\mathfrak{F}) = \mathfrak{p}^{\aleph_\alpha}$, và rằng bậc rời nhau của nó bằng $\aleph_\alpha$.

(c) Cho E là một tập vô hạn có lực lượng $\mathfrak{a}$, và cho $\mathfrak{c}$, $\mathfrak{p}$ là hai lực lượng $> 1$ sao cho $\mathfrak{p} < \mathfrak{c}$, $\mathfrak{p}^{\mathfrak{m}} < \mathfrak{a}$ với mọi $\mathfrak{m} < \mathfrak{c}$, và $\mathfrak{a} = \sum_{\mathfrak{m} < \mathfrak{c}} \mathfrak{p}^{\mathfrak{m}}$. Suy ra từ (b) rằng tồn tại một phủ $\mathfrak{F}$ của E gồm các tập có lực lượng $\mathfrak{c}$, có bậc rời nhau bằng $\mathfrak{c}$, và sao cho Card $(\mathfrak{F}) = \mathfrak{p}^{\mathfrak{c}}$. Đặc biệt, nếu E là đếm được vô hạn, tồn tại một phủ $\mathfrak{F}$ của E bởi các tập vô hạn sao cho Card $(\mathfrak{F}) = 2^{\aleph_0}$ và sao cho giao của bất kỳ hai tập nào của $\mathfrak{F}$ là hữu hạn.