Rõ ràng ta chỉ cần xét trường hợp các chỉ số là $1, 2, ..., p$ và $\lambda_i > 0$ với mỗi $i$; mệnh đề là tầm thường nếu $p = 1$; ta chứng minh kết quả bằng quy nạp theo $p$. Đặt $\mu = \sum_{i=1}^{p-1} \lambda_i > 0$, và $y = \sum_{i=1}^{p-1} \frac{\lambda_i}{\mu} x_i$; giả thiết quy nạp suy ra $y \in A$. Vì $\lambda_p = 1 - \mu$ và $\sum_{i=1}^p \lambda_i x_i = \mu y + (1 - \mu) x_p$, nên theo định nghĩa 1, $\sum_{i=1}^p \lambda_i x_i$ thuộc $A$.

Ảnh qua $f$ của đoạn đóng có các đầu mút $x, y$ là đoạn đóng có các đầu mút $f(x), f(y)$, do đó có mệnh đề thứ nhất. Ta suy ra rằng ảnh ngược của một đoạn đóng của $F$ qua $f$ chứa mọi đoạn đóng có các đầu mút thuộc nó; mệnh đề thứ hai của mệnh đề 2 được suy ra.

Đặc biệt, ảnh của một tập lồi qua một phép vị tự hoặc một phép tịnh tiến là một tập lồi.

Vì các tập này là ảnh ngược qua $g$ của các khoảng của $\mathbf{R}$ và do đó là lồi.

Với các ký hiệu của mệnh đề 3, các điểm của một tập con $M$ của một không gian afin nằm về cùng một phía (tương ứng nằm nghiêm ngặt về cùng một phía) của siêu phẳng $H$ nếu $M$ được chứa trong một trong các nửa không gian được xác định bởi $g(x) \geq 0, g(x) \leq 0$ (tương ứng $g(x) > 0$ hoặc $g(x) < 0$).

Rõ ràng điều kiện là cần thiết. Ngược lại, giả sử điều kiện ấy được thỏa mãn và cho $g(x) = 0$, là một phương trình xác định H ($g$ là một ánh xạ afin tuyến tính của E vào $\mathbf{R}$). Tập $g(A)$ là lồi trong $\mathbf{R}$, do đó nó là một khoảng, và $0 \notin g(A)$. Suy ra $g(x)$ có cùng dấu với mọi $x \in A$.

Mệnh đề suy ra ngay lập tức từ định nghĩa 1 của II, p. 7.

Thật vậy, mỗi phép chiếu $\mathrm{pr}_i$ là một ánh xạ tuyến tính và ta có $A_i = \mathrm{pr}_i A$ và $A = \bigcap_{i \in I} \mathrm{pr}_i^{-1}(A_i)$; mệnh đề suy ra từ các mệnh đề 2 và 5 ở trên.

Vì nó là ảnh qua một ánh xạ afin tuyến tính của một hình hộp chữ nhật, và hình hộp chữ nhật này là lồi theo mệnh đề 6.

Vì $\alpha A + \beta B$ là ảnh của tập con lồi $A \times B$ của $E \times E$ qua ánh xạ tuyến tính $(x, y) \mapsto \alpha x + \beta y$ của $E \times E$ vào $E$.

Ký hiệu tập các tổ hợp tuyến tính ấy là C, hiển nhiên C được chứa trong mọi tập lồi chứa tất cả các $A_i$ (II, p. 8, mệnh đề 1); mặt khác $A_i \subset C$ với mọi $i$. Điều còn lại phải chứng minh là C lồi. Cho $x = \sum \lambda_i x_i$, $y = \sum \mu_i y_i$ là hai điểm của C và $\alpha$ là một số sao cho $0 < \alpha < 1$, viết γ_i = αλ_i + (1 - α) μ_i cho mọi i ∈ I, và cho J là tập (hữu hạn) các chỉ số của I sao cho γ_i ≠ 0. Ta có thể viết αx + (1 - α)y = ∑_{i∈J} γ_i z_i, trong đó

thuộc A_i với mọi i ∈ J; nhưng $\sum_{i\in J} \gamma_i = \alpha \sum_{i\in I} \lambda_i + (1 - \alpha) \sum_{i\in I} \mu_i = 1$, và ta thấy rằng $ax + (1 - \alpha) y \in C$. Mệnh đề được chứng minh.

Chiều của đa tạp tuyến tính afin (A, II, § 9.3) được sinh bởi tập lồi A được gọi là chiều của A.

Cho E là một không gian vectơ. Bao lồi C của bao cân bằng của một tập hợp A trong E được gọi là bao lồi cân bằng (hay bao lồi đối xứng) của A; hiển nhiên nó là tập lồi đối xứng nhỏ nhất chứa A; nó cũng là bao lồi của $A \cup (-A)$, vì mọi điểm của bao cân bằng của A đều thuộc về một đoạn thẳng có hai đầu mút a và −a với $a \in A$. Tập C trùng với tập các tổ hợp tuyến tính $\sum_i \lambda_i x_i$ với $x_i \in A$ và $\sum_i |\lambda_i| \leq 1$; vì rõ ràng tập các điểm này là lồi và chứa A và −A; đủ để chứng minh rằng nó được chứa trong C, và để làm điều đó ta chỉ cần xét những tổ hợp tuyến tính sao cho $\mu = \sum_i |\lambda_i| > 0$; khi đó ta có thể viết $\sum_i \lambda_i x_i = \mu \cdot \sum_i \alpha_i y_i$ với $\alpha_i = \lambda_i/\mu$ và $y_i = x_i$, nếu $\lambda_i \geq 0$; và $\alpha_i = -\lambda_i/\mu$; $y_i = -x_i$ nếu $\lambda_i < 0$; hiển nhiên $\sum_i \alpha_i = 1$, và khẳng định của chúng ta được chứng minh.

Có một mệnh đề tương tự cho các ánh xạ tuyến tính và các bao lồi cân bằng.

Nếu C chứa một đường thẳng đi qua 0 thì hiển nhiên $C'$ không lồi. Giả sử bây giờ C là thực sự và cho x, y là hai điểm của $C'$. Đoạn thẳng đóng có hai đầu mút x, y được chứa trong C; nếu nó chứa 0 thì $\lambda x + (1 - \lambda) y = 0$ với một $\lambda$ nào đó thỏa $0 < \lambda < 1$, do đó $x = \mu y$ với $\mu < 0$. Vậy C chứa đường thẳng đi qua 0 và x, trái với giả thiết.

Vì điều kiện $\lambda C \subset C$ với mọi $\lambda > 0$ đặc trưng cho các nón. Nếu C là lồi thì ta có $C + C = \frac{1}{2}C + \frac{1}{2}C = C$ (II, p. 8, Nhận xét). Ngược lại, nếu nón C thỏa $C + C \subset C$, thì với $0 < \lambda < 1$, ta có $\lambda C + (1 - \lambda) C = C + C \subset C$, điều này cho thấy C là lồi.

Thật vậy, nếu $V = C - C$, thì V không rỗng, ta có $\lambda V = V$ với mọi $\lambda \neq 0$, và $V + V = C + C - (C + C) \subset C - C = V$, điều này cho thấy V là một không gian con vectơ. Cuối cùng mọi không gian con vectơ chứa C cũng chứa V.

Thật vậy, nếu $W = C \cap (-C)$, thì W không rỗng và $\lambda W = W$ với mọi $\lambda \neq 0$, đồng thời

điều đó cho thấy W là một không gian con vectơ. Hiển nhiên mọi không gian con vectơ được chứa trong C cũng được chứa trong W.

Hiển nhiên, nếu $f$ là một ánh xạ tuyến tính từ E vào một không gian vectơ F, thì $f(C)$, ảnh của một nón lồi C trong E, là một nón lồi trong F. Mọi giao của các nón lồi (có đỉnh 0) trong E đều là một nón lồi. Với mọi tập con A của E, giao của các nón lồi chứa A (chúng tồn tại, chính E cũng là một nón như vậy) là nón lồi nhỏ nhất chứa A; nó được gọi là nón lồi sinh bởi A.

Thật vậy, hiển nhiên C, tập các điểm như vậy, là một nón lồi chứa hợp của các $C_i$, và nó được chứa trong mọi nón lồi nào chứa hợp này.

Chỉ cần thấy rằng, nếu một nón lồi chứa một điểm $x \neq 0$ của A thì nó cũng chứa nửa đường thẳng $C_x$ gồm các điểm $\lambda x$ trong đó $\lambda$ biến thiên trong tập các số dương, và rằng $C_x$ là một nón lồi.

Tập C rõ ràng là một nón; chỉ cần chứng minh rằng C là lồi. Cho $\lambda x, \mu y$ là hai điểm của C ($\lambda > 0, \mu > 0, x \in A, y \in A$). Cho $\alpha, \beta$ là hai số $> 0$ sao cho $\alpha + \beta = 1$. Khi đó $\alpha \lambda x + \beta \mu y = (\alpha \lambda + \beta \mu) z$, với $z \in A$, và $\alpha \lambda + \beta \mu > 0$; do đó $\alpha \lambda x + \beta \mu y \in C$.

(ii) Ngược lại, nếu P là một nón lồi nhọn trong E, thì quan hệ $y - x \in P$ là một quan hệ tiền thứ tự trên E, và cấu trúc tiền thứ tự mà nó xác định là cấu trúc duy nhất tương thích với cấu trúc không gian vectơ của E và sao cho P là tập các phần tử $\geqslant 0$.

(iii) Quan hệ $y - x \in P$, với P là một nón lồi nhọn, là một quan hệ thứ tự trên E nếu và chỉ nếu P là một nón thực sự.

(i) Các tiên đề (EO_I) và (EO_{II}) suy ra $P + P \subset P$ và $\lambda P \subset P$ với mọi $\lambda > 0$. Vì $0 \in P$, suy ra P là một nón lồi nhọn (II, p. 11, Mệnh đề 10).

(ii) Ngược lại, nếu P là một nón lồi nhọn, thì quan hệ $P + P \subset P$ suy ra rằng quan hệ $y - x \in P$ là một quan hệ tiền thứ tự tương thích với cấu trúc nhóm cộng của E (A, VI, p. 3, Mệnh đề 3); viết nó dưới dạng $x \leqslant y$, ta được tập P trùng với tập các $x \geqslant 0$; hơn nữa quan hệ $\lambda P \subset P$ với mọi $\lambda \geqslant 0$ cho thấy tiên đề (EO_{II}) được thỏa mãn.

(iii) Nói P là thực sự có nghĩa là $P \cap (-P) = \{0\}$ (II, p. 11, Hệ quả 2), do đó $y - x \in P$ là một quan hệ thứ tự.

Thật vậy, cho A là một tập lồi; ánh xạ $(x, y) \mapsto \lambda x + (1 - \lambda) y$, trong đó $0 < \lambda < 1$, là liên tục trong $E \times E$ và ánh xạ $A \times A$ vào A; do đó (GT, I, § 2.1, định lý 1) nó ánh xạ $\overline{A} \times \overline{A}$ vào $\overline{A}$, điều này cho thấy $\overline{A}$ là lồi. Tương tự, nếu C là một nón lồi có đỉnh 0 thì $\overline{C} + \overline{C} \subset \overline{C}$ và $\lambda \overline{C} \subset \overline{C}$ với mọi $\lambda > 0$.

Cho B là tập compact trong $\mathbf{R}^n$ được xác định bởi các điểm $(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n)$ trong đó $\lambda_i \geq 0$ ($1 \leq i \leq n$), và $\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$. Định nghĩa một ánh xạ liên tục từ $B \times \prod_{i=1}^n A_i \subset \mathbf{R}^n \times E^n$ vào E bởi công thức $(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n, x_1, x_2, ..., x_n) \mapsto \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i$. Bao lồi C của $\bigcup_{i=1}^n A_i$ là ảnh của $B \times \prod_{i=1}^n A_i$ qua ánh xạ này; vì $B \times \prod_{i=1}^n A_i$ là compact và E là Hausdorff, suy ra C là compact.

Thật vậy, gọi j là ánh xạ chính tắc từ E vào hoàn thành Hausdorff của nó $\hat{E}$; nếu C là bao lồi của A, thì $j(C)$ là bao lồi của tập hữu hạn $j(A)$ trong $\hat{E}$, do đó $j(C)$ là compact (hệ quả 1) và vì vậy C là tiền compact (GT, II, § 4.2).

Với mọi điểm y của đoạn này, gọi f là phép vị tự có tâm y và tỉ số $\lambda < 0$, biến $x_0$ thành x. Nếu V là một lân cận mở của $x_0$ được chứa trong A, thì $f(V)$ là một lân cận của x và do đó chứa một điểm $f(z) \in A$; khi đó

hence $y - f(z) = \frac{\lambda}{\lambda - 1} (z - f(z))$, do đó y được biến đổi thành z bởi phép vị tự g, có tâm $f(z)$ và tỉ số $\mu = \lambda / (\lambda - 1)$; vì $0 < \mu < 1$, g biến đổi V thành một lân cận của 0 được chứa trong A. Mệnh đề được chứng minh.

Theo mệnh đề 16, nếu $\overset{\circ}{A}$ không rỗng, thì nó là một tập hợp lồi và mọi điểm của $\overline{A}$ đều là điểm tụ của $\overset{\circ}{A}$. Tiếp theo ta chứng minh rằng mọi điểm trong của $\overline{A}$ đều thuộc $\overset{\circ}{A}$. Cho x là một điểm trong của $\overline{A}$ và giả sử, để xác định, rằng $x = 0$. Cho V là một lân cận đối xứng của 0 được chứa trong $\overline{A}$ và cho $y \in \overset{\circ}{A} \cap V$; khi đó $-y \in \overline{A}$, và do đó, theo mệnh đề 16, ta thấy rằng $0 \in \overset{\circ}{A}$, nếu $y \neq 0$; điều này hiển nhiên đúng nếu $y = 0$.

Vì các phép vị tự có tỉ số $> 0$ và tâm 0 biến C thành chính nó, nên chúng cũng biến $\dot{C}$ thành chính nó, do đó $\dot{C}$ là một nón; phần còn lại của hệ quả suy ra từ hệ quả 1 và nhận xét hiển nhiên rằng nếu C không rỗng thì $\overline{C}$ chứa đỉnh của C.

Cho H là một siêu phẳng đóng trong không gian vectơ tôpô E trên $\mathbf{R}$; nó có phương trình dạng $f(x) = \alpha$, trong đó $f$ là một dạng tuyến tính liên tục không đồng nhất bằng không trên E (I, p. 13, định lý 1). Các nửa không gian đóng được xác định tương ứng bởi $f(x) \leqslant \alpha$ và $f(x) \geqslant \alpha$ do đó là các tập hợp lồi đóng; các phần bù của chúng được xác định tương ứng bởi $f(x) > \alpha$ và $f(x) < \alpha$, là các tập hợp lồi mở. Ta nói rằng các nửa không gian này là các nửa không gian đóng (t.ư. mở) được xác định bởi H.

Thật vậy, giả sử H chứa gốc và $f(x) = 0$ là một phương trình của H; giả sử, để xác định, rằng $f(x) \geqslant 0$ với mọi $x \in A$. Nửa không gian tạo bởi các điểm y sao cho $f(y) > -1$ chứa ít nhất một điểm trong, và, bằng phép tịnh tiến, điều tương tự cũng đúng đối với nửa không gian các điểm y sao cho $f(y) > 0$; điều này chứng tỏ H là đóng (I, p. 11, hệ quả). Khi đó ta biết rằng $f$ là một cấu xạ ngặt của E vào $\mathbf{R}$ (I, p. 13, hệ quả), do đó $f(\dot{A})$ là một tập hợp mở trong $\mathbf{R}$. Tập hợp này không thể chứa 0, vì khi đó nó sẽ chứa các số $< 0$ trái với giả thiết; do đó nó được chứa trong khoảng mở $]0, +\infty[$. Mặt khác, nửa không gian gồm những y sao cho $f(y) \geqslant 0$ là đóng và chứa A, do đó nó chứa $\overline{A}$.

Áp dụng mệnh đề 17 vào trường hợp $A = P$ trong đó H là siêu phẳng có phương trình $f(x) = 0$.

Thật vậy, cho $b = \lim_{x \in H} x$; với mọi $y \in H$, tập các $x \in H$ sao cho $x \geq y$ là một tập của bộ lọc tiết diện của H, do đó b là một điểm tụ của tập này; nhưng vì tập $x \geq y$ là đóng trong E, ta có $b \geq y$, vậy b là một cận trên của H. Mặt khác, nếu a là một cận trên của H, thì H được chứa trong tập đóng $x \leq a$; vì b là một điểm tụ của H, ta có $b \leq a$, điều này hoàn thành chứng minh (II, p. 72, exerc. 42).

a) Hàm $f$ là lồi. b) Tập hợp $F$ trong không gian afin $E \times \mathbf{R}$ là lồi. c) Tập hợp $F'$ trong không gian afin $E \times \mathbf{R}$ là lồi.

Ta chứng minh rằng $a) \Rightarrow c)$. Cho $(x, a)$ và $(y, b)$ là hai điểm của $F'$ và $0 < \lambda < 1$, khi đó $f(x) < a,\ f(y) < b$ và nếu $f$ là lồi

điều này cho thấy điểm $\lambda(x, a) + (1 - \lambda)(y, b)$ của $E \times \mathbf{R}$ thuộc $F'$. Do đó $F'$ là lồi.

Tiếp theo ta chứng minh rằng $c) \Rightarrow b)$. Nếu $(x, a), (y, b)$ là hai điểm của $F$ thì với mọi $\varepsilon > 0$, $(x, a + \varepsilon)$ và $(y, b + \varepsilon)$ thuộc $F'$ và, nếu $0 < \lambda < 1$, điều tương tự cũng đúng với $(\lambda x + (1 - \lambda) y, \lambda a + (1 - \lambda) b + \varepsilon)$; theo định nghĩa của $F$, điều này suy ra rằng $(\lambda x + (1 - \lambda) y, \lambda a + (1 - \lambda) b)$ thuộc $F$.

Cuối cùng $b) \Rightarrow a)$, vì (với ký hiệu trên), nếu $(\lambda x + (1 - \lambda) y, \lambda a + (1 - \lambda) b)$ thuộc $F$ thì

với điều kiện $a \geqslant f(x)$ và $b \geqslant f(y)$; do đó (1) suy ra và $f$ là lồi.

Thật vậy, đó là phép chiếu lên $E$ của giao của $F$ (tương ứng $F'$) và siêu phẳng $E \times \{\alpha\}$ trong $E \times \mathbf{R}$.

(3)

Nếu $f$ là hàm lồi nghiêm ngặt và $\lambda_i > 0$ với mọi $i$, thì

(4)

trừ khi tất cả các $x_i$ bằng nhau.

Bất đẳng thức (3) suy ra từ II, mệnh đề 19 ở trên và II, p. 8, mệnh đề 1. Giả sử rằng các $x_i$ không tất cả bằng nhau (điều này kéo theo $p \geq 2$) và các $\lambda_i$ đều $> 0$; khi đó điểm $z = \sum_{i=1}^p \lambda_i x_i$ khác ít nhất một $x_i$. Không mất tính tổng quát, giả sử $z \neq x_1$, viết $z = \lambda_1 x_1 + (1 - \lambda_1) y_1$ trong đó $y_1 = \sum_{i=2}^p \frac{\lambda_i}{1 - \lambda_1} x_i$. Khi đó $y_1 \neq x_1$ và, vì $0 < \lambda_1 < 1$, theo giả thiết, ta có

Nhưng theo (3) $f(y_1) \leq \sum_{i=2}^p \frac{\lambda_i}{1 - \lambda_1} f(x_i)$, và bất đẳng thức (4) suy ra.

Điều kiện này hiển nhiên là cần thiết, ta chứng minh rằng nó là đủ. Cho $x_0 \in X$ là một điểm sao cho $f$ bị chặn trên trong một lân cận V của $x_0$; trước hết ta chỉ ra rằng $f$ liên tục tại $x_0$. Bằng phép tịnh tiến, ta có thể tự giới hạn vào trường hợp $x_0 = 0$ và $f(x_0) = 0$; hơn nữa ta có thể giả sử rằng lân cận V là cân bằng (I, p. 7, mệnh đề 4). Giả sử rằng $f(x) \leq a$ trong V; với mọi $\varepsilon, 0 < \varepsilon < 1$, ta nhận thấy rằng nếu $x \in \varepsilon V$, thì $x/\varepsilon \in V$ và $-x/\varepsilon \in V$. Áp dụng bất đẳng thức (1) của II, p. 16 cho các điểm $x/\varepsilon$ và 0 và cho số $\lambda = \varepsilon$, ta thấy rằng $f(x) \leq \varepsilon f(x/\varepsilon) \leq \varepsilon a$; áp dụng nó cho các điểm $x$ và $-x/\varepsilon$ và số $\lambda = 1/(1 + \varepsilon)$, ta được $f(x) \geq -\varepsilon f(-x/\varepsilon) \geq -\varepsilon a$. Do đó $f(x)$ nhỏ tùy ý trong $\varepsilon V$, nếu $\varepsilon$ đủ nhỏ, và $f$ liên tục tại $x = 0$.

Bây giờ cho $y$ là một điểm bất kỳ của X; vì X là mở, tồn tại một số $\rho > 1$ sao cho $z = \rho y$ thuộc X. Gọi $g$ là phép vị tự $x \mapsto \lambda x + (1 - \lambda)z$ có tâm $z$ và tỉ số $\lambda = 1 - \frac{1}{\rho}$, biến 0 thành $y$; với mọi điểm $g(x) \in g(V)$, từ (1) ta có

Do đó $f$ bị chặn trên trong một lân cận của $y$ và vì thế, theo phần đầu, liên tục tại $y$. Mệnh đề được chứng minh.

Ta có thể giả sử rằng X không rỗng. Khi đó tồn tại trong X, $n + 1$ điểm độc lập afin $a_i$ ($0 \leq i \leq n$) và bao lồi của các điểm này, S, chứa tập hợp mở không rỗng gồm các điểm $\sum_{i=0}^n \lambda_i a_i$ với $0 < \lambda_i < 1$ đối với mọi $i$ và $\sum_{i=0}^n \lambda_i = 1$. Theo II, p. 17, mệnh đề 20, $f$ bị chặn trên trong S và do đó liên tục.

Trong một không gian vectơ tôpô vô hạn chiều, nói chung tồn tại các dạng tuyến tính không liên tục (II, p. 80, bài tập 25) và do đó các hàm lồi không liên tục tại bất kỳ điểm nào.