Bài tập 31, § 2

Cho $x_0$ là một điểm trong bao đóng của A, một tập con lồi không rỗng của một không gian vectơ tôpô Hausdorff E. Cho $f$ là một hàm lồi xác định trên A. Dùng $\mathscr{D}$ để ký hiệu tập hợp các nửa đường thẳng đóng D xuất phát từ $x_0$, sao cho $A \cap D$ chứa một đoạn mở có đầu mút $x_0$. Hợp C của các nửa đường thẳng $D \in \mathscr{D}$ là một nón lồi có đỉnh $x_0$. a) Chứng minh rằng, với mỗi $D \in \mathscr{D}$ cố định, khi x tiến tới $x_0$ sao cho $x \in D \cap A$ và $x \neq x_0$, thì hoặc là $f(x)$ tiến tới một giới hạn hữu hạn hoặc tới $+\infty$. b) Gọi $\mathscr{J}$ là tập con của các $D \in \mathscr{D}$ mà giới hạn của $f(x)$ trong a) là $+\infty$; nếu $x_0 \in A$ thì $\mathscr{J}$ rỗng. Chứng minh rằng $\mathscr{J}$ không thể chứa hai nửa đường thẳng đối nhau; nếu D và $D'$ là hai nửa đường thẳng phân biệt trong $\mathscr{J}$ và P là mặt phẳng được xác định bởi D và $D'$ thì hoặc mọi nửa đường thẳng $D''$ của $\mathscr{D}$ trong P đều thuộc $\mathscr{J}$, hoặc D và $D'$ là hai nửa đường thẳng duy nhất của $\mathscr{J}$ nằm trong P. Suy ra rằng nếu $\mathscr{J} \neq \mathscr{D}$ thì không có nửa đường thẳng $D \in \mathscr{J}$ nào chứa một điểm trong (II, p. 26) của nón C đối với không gian con vectơ sinh bởi C. c) Gọi $\mathscr{F}$ là tập hợp các nửa đường thẳng trong $\mathscr{D}$ không thuộc $\mathscr{J}$. Chứng minh rằng hợp của các nửa đường thẳng của $\mathscr{F}$ là một nón lồi, và với mỗi nửa đường thẳng $D \in \mathscr{F}$ giới hạn của $f(x)$ được xác định trong a) không phụ thuộc vào D (dùng bài tập 29 ở trên); hơn nữa nếu $x_0 \in A$ thì giới hạn này là $\leq f(x_0)$, và nó bằng $f(x_0)$ khi $\mathscr{F}$ chứa hai nửa đường thẳng đối nhau. d) Cho $f$ là một dạng tuyến tính không liên tục trên E ($cf.$ II, p. 86, bài tập 17, a)) và lấy $A = E$; chứng minh rằng mọi nửa đường thẳng đóng, xuất phát từ $x_0$, đều thuộc về $\mathscr{F}$, nhưng

(dùng Mệnh đề 21 của II, p. 18).