Bài tập 1, § 3

Cho P là một nón lồi nhọn thực sự, có đỉnh 0, trong E là một không gian vectơ trên $\mathbf{R}$ và p là một chuẩn nửa trên E và V là tập hợp các điểm $x \in E$ mà $p(x) < 1$. Cho M là một không gian con vectơ của E và f là một dạng tuyến tính trên M. Tồn tại một dạng tuyến tính g trên E, mở rộng f và sao cho nó $\geq 0$ trong P và $|g(x)| \leq p(x)$ với mọi $x \in E$, khi và chỉ khi, với mọi $x \in M \cap (V + P)$, ta có $f(x) > -1$. (Để thấy rằng điều kiện là đủ, xét một điểm $x_0 \in M$ sao cho, $f(x_0) = 1$, nón Q có đỉnh 0 sinh bởi $x_0 + V$, và áp dụng hệ quả của mệnh đề 1 (II, p. 21) cho không gian E mang quan hệ tiền thứ tự mà đối với nó $P + Q$ là nón của các phần tử $\geq 0$.)