Exercice 1, § 3

Soient E un espace vectoriel sur R, P un cône convexe pointé saillant dans E, de sommet 0, $p$ une semi-norme sur E, V l’ensemble des $x \in E$ tels que $p(x) < 1$. Soient M un sous-espace vectoriel de E, $f$ une forme linéaire sur M. Pour qu’il existe sur E une forme linéaire $g$ prolongeant $f$, qui soit $\geq 0$ dans P et telle que $|g(x)| \leq p(x)$ pour tout $x \in E$. il faut et il suffit que pour tout $x \in M \cap (V + P)$, on ait $f(x) > -1$. (Pour voir que la condition est suffisante, considérer un point $x_0 \in M$ tel que $f(x_0) = 1$, le cône Q de sommet 0 engendré par $x_0 + V$ et appliquer le cor. de la prop. 1 (II, p. 23) à l’espace E muni de la relation de préordre pour laquelle $P + Q$ est le cône des éléments $\geqslant 0$.)