Bài tập 4, § 3

Cho A là một tập hợp không rỗng của E, một không gian vectơ trên $\mathbf{R}$, và p là một hàm dưới tuyến tính trên E. Gọi B là tập hợp các $z \in E$ sao cho $\inf_{x \in A} p(x - z) \leq 0$; ta có $A \subset B$ và $\inf_{x \in A} p(x) \leq p(z)$ với mọi $z \in B$; từ đó $\inf_{x \in A} p(x) = \inf_{z \in B} p(z)$. a) Chứng minh rằng tập hợp các $y \in E$ sao cho $\inf_{z \in B} p(z - y) \leq 0$ là tập hợp B. b) Suy ra từ a) rằng giao của B và mọi đường thẳng afin D trong E là đóng trong D (chứng minh rằng, với mọi các điểm a, b của E, hàm $t \to p(a + tb)$ là liên tục trong $\mathbf{R}$). c) Giả sử rằng với mỗi cặp điểm x, y của A tồn tại $z \in A$ sao cho $p(z - \frac{1}{2}(x + y)) \leq 0$. Chứng minh rằng, với mỗi cặp điểm u, v của B ta có $\frac{1}{2}(u + v) \in B$ (viết

với $x, y, z$ trong A). Suy ra rằng B là lồi (dùng b)).

d) Dưới các giả thiết của c), chứng minh rằng tồn tại một dạng tuyến tính h trên E sao cho $h(x) \leq p(x)$ và ta có $\inf_{y \in A} p(y) = \inf_{y \in A} h(y)$ (dùng c) và exerc. 3).