Exercice 4, § 3

Soient E un espace vectoriel sur $\mathbf{R}$, $p$ une fonction sous-linéaire sur E, A une partie non vide de E. Soit B l’ensemble des $z \in E$ tels que $\inf_{x \in A} p(x - z) \leqslant 0$; on a $A \subset B$ et $\inf_{x \in A} p(x) \leqslant p(z)$ pour tout $z \in B$; en déduire que $\inf_{x \in A} p(x) = \inf_{z \in B} p(z)$. a) Montrer que l’ensemble des $y \in E$ tels que $\inf_{z \in B} p(z - y) \leqslant 0$ est égal à B. b) Déduire de a) que l’intersection de B et de toute droite affine D dans E est fermée dans D (observer que, quels que soient les points $a, b$ de E, la fonction $t \mapsto p(a + tb)$ est continue dans $\mathbf{R}$). c) On suppose que, pour tout couple de points $x, y$ de A, il existe $z \in A$ tel que $p(z - \frac{1}{2}(x + y)) \leqslant 0$. Montrer que, pour tout couple de points $u, v$ de B, on a $\frac{1}{2}(u + v) \in B$ (écrire

pour $x, y, z$ dans A). En déduire que B est alors convexe (utiliser b)). d) Sous les hypothèses de c), montrer qu’il existe une forme linéaire $h$ sur E telle que $h(x) \leqslant p(x)$ et que l’on ait $\inf_{y \in A} p(y) = \inf_{y \in A} h(y)$ (utiliser c) et l’exercice 3).