Bài tập 6, § 3

a) Cho H là một siêu phẳng trong E là một không gian vectơ trên $\mathbf{R}$ và cho p là một hàm dưới tuyến tính trên E. Cho f là một dạng tuyến tính trên H, sao cho $f(y) \leq p(y)$ trong H. Cho a là một điểm của $\mathbf{C} H$, và cho h là dạng tuyến tính trên E mở rộng f và sao cho $h(a) = \inf_{y \in H} (f(y + p(a - y)))$. Khi đó $h(x) \leq p(x)$ trong E. Chứng minh rằng với mọi dạng tuyến tính g trên E mở rộng f và sao cho $g(x) \leq p(x)$ trong E, ta cũng có $g(a) \leq h(a)$. b) Cho V là một không gian con vectơ của E và f là một dạng tuyến tính trên V sao cho $f(y) \leq p(y)$ trong V. Cho S là một tập hợp không rỗng của E. Chứng minh rằng tồn tại một dạng tuyến tính h trên E mở rộng f, sao cho $h(x) \leq p(x)$ trong E và không có dạng tuyến tính g nào khác trên E mở rộng f sao cho $g(x) \leq p(x)$ trong E, phân biệt với h và sao cho $g(x) \geq h(x)$ trong S. (Xét tập hợp $\mathscr{F}$ các cặp (V', f') trong đó V' là một không gian con vectơ chứa V và f' là một dạng tuyến tính trên V' mở rộng f và sao cho $f'(z) \leq p(z)$ trong V' và hơn nữa sao cho không có dạng tuyến tính f'' nào khác trên V' có cùng các tính chất và sao cho $f''(z) \geq f'(z)$ trong S $\cap$ V'. Sắp thứ tự $\mathscr{F}$ và sử dụng a) và Định lý 2 của S, III, § 2.4.)