Exercice 6, § 3

a) Soient E un espace vectoriel sur $\mathbf{R}$, H un hyperplan dans E, $p$ une fonction sous-linéaire sur E. Soit $f$ une forme linéaire sur H, telle que $f(y) \leqslant p(y)$ dans H. Soit $a$ un point de $\bigcup H$, et soit $h$ la forme linéaire sur E prolongeant $f$ et telle que $h(a) = \inf_{y \in H} (f(y) + p(a - y))$. On a alors $h(x) \leqslant p(x)$ dans E. Montrer que pour toute forme linéaire $g$ sur E prolongeant $f$ et telle que $g(x) \leqslant p(x)$ dans E, on a $g(a) \leqslant h(a)$. b) Soient V un sous-espace vectoriel de E, S une partie non vide de E et $f$ une forme linéaire sur V telle que $f(y) \leqslant p(y)$ dans V. Montrer qu’il existe une forme linéaire $h$ sur E, prolongeant $f$, telle que $h(x) \leqslant p(x)$ dans E, et telle qu’il n’existe aucune forme linéaire $g$ sur E, prolongeant $f$, telle que $g(x) \leqslant p(x)$ dans E, distincte de $h$ et telle que $g(x) \geqslant h(x)$ dans S. (Considérer l’ensemble $\mathfrak{T}$ des couples $(V', f')$, où $V'$ est un sous-espace vectoriel contenant V, $f'$ une forme linéaire sur $V'$ prolongeant $f$, telle que $f'(z) \leqslant p(z)$ dans $V'$ et telle qu’il n’existe aucune autre forme linéaire $f''$ sur $V'$ ayant les mêmes propriétés et telle que $f''(z) \geqslant f'(z)$ dans $S \cap V'$. Ordonner $\mathfrak{T}$ et utiliser a) et le th. 2 de E, III, p. 20.)