Bài tập 7, § 3

Cho T là một nửa nhóm giao hoán (A, I, § 2.1) mang một quan hệ tiền thứ tự $x \leq y$ sao cho nếu $x \leq y$ thì $x + z \leq y + z$ với mọi $z \in T$. Một ánh xạ f của T vào $\mathbf{R} \cup \{ -\infty \}$ được gọi là cộng tính (tương ứng dưới cộng tính, tương ứng siêu cộng tính) nếu ta có

với mọi $x, y$ trong T. a) Nếu g là dưới cộng tính và tăng trong T, thì hàm $h(x) = \inf_{n > 0} g(nx)/n$ là dưới cộng tính và tăng; ta có $h \leq g$ và $h(0) = 0$ nếu $g(0) \geq 0$. b) Với cùng các giả thiết đó, giả sử rằng tồn tại hai phần tử $x_1, x_2$ của T và hai số thực $\xi_1, \xi_2$ sao cho $\xi_1 < g(x_1), \xi_2 < g(x_2)$ và $g(x_1 + x_2) < \xi_1 + \xi_2$. Cho $y_1, y_2, z_1, z_2$ là bốn phần tử của T, cho $n_1, n_2$ là hai số nguyên $\geq 0$ và cho $\alpha_1, \alpha_2$ là hai số thực sao cho Chứng minh rằng khi đó $g(n_2 y_1 + n_1 y_2) < n_2 \alpha_1 + n_1 \alpha_2$. c) Cho $\omega$ là một hàm siêu cộng tính trên T sao cho $\omega(0) = 0$, và cho $\Omega$ là một hàm dưới cộng tính tăng trên T sao cho $\omega(x) \leq \Omega(x)$ trong T. Chứng minh rằng tồn tại một hàm cộng tính tăng f trên T sao cho $\omega(x) \leq f(x) \leq \Omega(x)$ trong T. (Nhận xét rằng tập hợp các hàm dưới cộng tính tăng g trên T sao cho $\omega(x) \leq g(x) \leq \Omega(x)$ trong T là không rỗng và quy nạp đối với quan hệ $\geq$, và lấy một phần tử cực tiểu của tập hợp này làm f; dùng a) để chứng minh rằng $f(0) = 0$. Để chứng minh rằng không thể tồn tại các cặp phần tử của T, $(x_1, x_2)$ sao cho $f(x_1 + x_2) < f(x_1) + f(x_2)$, nhận xét rằng nếu $\xi_j \in \mathbf{R}$, và $h_j(x) = \inf(n \xi_j + f(y))$ trong đó n chạy qua tập hợp các số nguyên $\geq 0$ và y chạy qua tập hợp các phần tử của T sao cho $x \leq nx_j + y$, thì $h_j$ là tăng và dưới cộng tính trong T ($j = 1, 2$), $h_j(x_j) \leq \xi_j$ và $h_j(x) \leq f(x)$ với mọi $x \in T$. Sau đó dùng định nghĩa của f và phần b) để thu được một mâu thuẫn.)