Exercice 7, § 3

Soit T un monoïde commutatif (A, I, p. 12) muni d’une relation de préordre $x \leq y$ telle que la relation $x \leq y$ entraîne $x + z \leq y + z$ pour tout $z \in T$. Une application $f$ de T dans $\mathbf{R} \cup \{-\infty\}$ est dite additive (resp. sous-additive, resp. sur-additive) si l’on a $f(x + y) = f(x) + f(y)$ (resp. $f(x + y) \leq f(x) + f(y)$, resp. $f(x + y) \geq f(x) + f(y)$) quels que soient $x, y$ dans T. a) Si $g$ est une fonction sous-additive et croissante dans T, la fonction $h(x) = \inf_{n > 0} g(nx)/n$ est sous-additive et croissante ; on a $h \leq g$ et $h(0) = 0$ si $g(0) \geq 0$. b) Sous les mêmes hypothèses, on suppose qu’il existe deux éléments $x_1, x_2$ de T et deux nombres réels $\xi_1, \xi_2$ tels que $\xi_1 < g(x_1), \xi_2 < g(x_2)$ et $g(x_1 + x_2) < \xi_1 + \xi_2$. Soient $y_1, y_2, z_1, z_2$ quatre éléments de T, $n_1, n_2$ deux entiers $\geq 0$, $\alpha_1, \alpha_2$ deux nombres réels tels que l’on ait

Montrer que l’on a alors $g(n_2 y_1 + n_1 y_2) < n_2 \alpha_1 + n_1 \alpha_2$. c) Soient $\omega$ une fonction sur-additive sur T telle que $\omega(0) = 0$, $\Omega$ une fonction croissante et sous-additive sur T telle que $\omega(x) \leq \Omega(x)$ dans T. Montrer qu’il existe une fonction croissante et additive $f$ sur T telle que $\omega(x) \leq f(x) \leq \Omega(x)$ dans T. (Remarquer que l’ensemble des fonctions croissantes et sous-additives $g$ sur T telles que $\omega(x) \leq g(x) \leq \Omega(x)$ dans T est non vide et inductif pour la relation $\geq$, et prendre pour $f$ un élément minimal de cet ensemble ; montrer à l’aide de a) que $f(0) = 0$. Pour prouver qu’il ne peut pas exister de couples $(x_1, x_2)$ d’éléments de T tels que $f(x_1 + x_2) < f(x_1) + f(x_2)$, remarquer que si $\xi_j \in \mathbf{R}$, et $h_j(x) = \inf(n \xi_j + f(y))$ où $n$ parcourt l’ensemble des entiers $\geq 0$ et $y$ l’ensemble des éléments de T tels que $x \leq nx_j + y$, alors $h_j$ est croissante et sous-additive dans T ($j = 1, 2$), $h_j(x_j) \leq \xi_j$ et $h_j(x) \leq f(x)$ pour tout $x \in T$. Utiliser alors la définition de $f$ et la partie b) pour obtenir une contradiction.)