Bài tập 8, § 3

a) Cho K là một vành chia định giá không rời rạc mà giá trị tuyệt đối là một siêu mêtric, không compact tuyến tính (xem CA, III, § 2, bài tập 15); khi đó tồn tại một tập hợp có thứ tự tốt I gồm các số $> 0$ và một họ $(B(\rho))_{\rho \in I}$ các quả cầu đóng trong K sao cho quan hệ $\rho < \rho'$ kéo theo $B(\rho) \subset B(\rho')$, sao cho $B(\rho)$ có bán kính $\rho$ và sao cho giao của các $B(\rho)$ là rỗng (CA, VI, § 5, bài tập 5). Với mọi $x \in K$, tồn tại $\rho \in I$ sao cho $x \notin B(\rho)$; hãy chứng minh rằng số $\phi(x) =$ $|x - y|$ với $a\ y \in B(\rho)$ không phụ thuộc vào $y \in B(\rho)$, cũng không phụ thuộc vào $\rho \in I$ sao cho $x \notin B(\rho)$. Nếu $\rho \in I$ sao cho $x \in B(\rho)$ thì $\phi(x) \leq \rho$. Với điều kiện đó, đối với $(x_1, x_2) \in K^2$, đặt $\|(x_1, x_2)\| = |x_1|$ nếu $x_2 = 0$, và $\|(x_1, x_2)\| = |x_2| \ \phi(x_2^{-1} x_1)$ nếu $x_2 \neq 0$. Chứng minh rằng $\|(x_1, x_2)\|$ là một chuẩn siêu trên $K^2$ (I, p. 26, bài tập 12) và chứng minh rằng không tồn tại phép chiếu nào có chuẩn 1 từ $K^2$ lên $K \times \{0\}$.

b) Cho $K$ là một vành chia định giá đầy đủ không rời rạc mà giá trị tuyệt đối là một siêu mêtric và là compact tuyến tính. Cho $E$ là một không gian vectơ chiều 2 trên K với một chuẩn siêu và cho $D$ là một đường thẳng trong $E$; hãy chứng minh rằng với mọi điểm $x \in E$, tồn tại $y \in D$ sao cho $d(x, D) = d(x, y) = \|x - y\|$ (chú ý rằng giao của $D$ và một quả cầu tâm $x$ là một quả cầu trong $D$).

c) Suy ra từ a) và b) rằng đối với một vành chia định giá đầy đủ không rời rạc $K$, mà giá trị tuyệt đối là một siêu mêtric, các tính chất sau là tương đương :

$\alpha)$ $K$ là compact tuyến tính.

$\beta)$ Đối với mọi không gian vectơ chuẩn siêu $E$ trên $K$, đối với mọi không gian con vectơ $F$ của $E$ và mọi dạng tuyến tính liên tục $f$ trên $F$, tồn tại một dạng tuyến tính liên tục $g$ trên $E$ mở rộng $f$ và sao cho $\|g\| = \|f\|$. (Quy về trường hợp $E$ có chiều 2 và sử dụng b).) \*