Exercice 8, § 3

a) Soit K un corps valué complet non discret dont la valeur absolue est ultramétrique, non linéairement compact ; il existe alors un ensemble bien ordonné I de nombres $> 0$ et une famille $(B(\rho))_{\rho \in I}$ de boules fermées dans K telle que la relation $\rho < \rho'$ entraîne $B(\rho) \subset B(\rho')$, que $B(\rho)$ ait pour rayon $\rho$, et que l’intersection des $B(\rho)$ soit vide (AC, VI, § 5, exerc. 5). Pour tout $x \in K$, il existe $\rho \in I$ tel que $x \notin B(\rho)$; montrer que le nombre $\varphi(x) = |x - y|$ pour un $y \in B(\rho)$ ne dépend ni de $y \in B(\rho)$, ni de $\rho \in I$ tel que $x \notin B(\rho)$. Si $\rho \in I$ est tel que $x \in B(\rho)$, on a $\varphi(x) \leq \rho$. Cela étant, pour $(x_1, x_2) \in K^2$, on pose $\|(x_1, x_2)\| = |x_1|$ si $x_2 = 0$, $\|(x_1, x_2)\| = |x_2| \varphi(x_2^{-1} x_1)$ si $x_2 \neq 0$. Montrer que $\|(x_1, x_2)\|$ est une ultranorme sur $K^2$ (I, p. 26, exerc. 12) et montrer qu’il n’existe aucune projection de norme 1 de $K^2$ sur $K \times \{0\}$. b) Soit K un corps valué complet non discret dont la valeur absolue est ultramétrique et qui est linéairement compact. Soit E un espace vectoriel de dimension 2 sur K, muni d’une ultranorme, et soit D une droite dans E ; montrer que pour tout point $x \in E$, il existe $y \in D$ tel que $d(x, D) = d(x, y) = \|x - y\|$ (observer que l’intersection de D et d’une boule de centre x est une boule dans D). c) Déduire de a) et b) que pour un corps valué complet non discret K, dont la valeur absolue est ultramétrique, les propriétés suivantes sont équivalentes : α) K est linéairement compact. β) Pour tout espace vectoriel ultranormé E sur K, tout sous-espace vectoriel F de E et toute forme linéaire continue $f$ sur F, il existe une forme linéaire continue $g$ sur E, prolongeant $f$ et telle que $\|g\| = \|f\|$. (Se ramener au cas où E est de dimension 2 et utiliser b).)