Bài tập 1, § 5

a) Cho E là một không gian vectơ. Ta nói rằng một nón lồi nhọn C (có đỉnh 0) trong E là cực đại nếu C là một phần tử cực đại của tập hợp các nón lồi nhọn có đỉnh 0 và $\neq E$, có thứ tự bởi quan hệ bao hàm. Chứng minh rằng một nón lồi nhọn C là cực đại khi và chỉ khi nó là một nửa không gian đóng được xác định bởi một siêu phẳng đi qua 0. Để thiết lập kết quả này, hãy chứng minh lần lượt các tính chất sau đây của một nón lồi nhọn cực đại C ;

α) Ta có $C \cup (-C) = E$ (lập luận bằng cách thu được một mâu thuẫn).

β) Nếu $z$ là một điểm không nội (II, p. 26) của $C$ thì $-z \in C$ (cùng phương pháp). Suy ra rằng $C$ chứa các điểm nội.

γ) Không gian vectơ con lớn nhất $H = C \cap (-C)$ được chứa trong $C$ là một siêu phẳng. (Chuyển qua không gian thương $F = E/H$, điều này quy về việc chứng minh, dùng β), rằng nếu mọi điểm của $C$ khác đỉnh đều là điểm nội, thì E nhất thiết có chiều 1.)

b) Cho một ví dụ về một nón lồi không nhọn cực đại (trong tập hợp các nón lồi không nhọn có đỉnh 0) không có điểm nội (xem II, p. 65, bài tập 5).