Exercice 1, § 5

$a$ Soit $E$ un espace vectoriel. On dit qu’un cône convexe pointé $C$ (de sommet 0) dans $E$ est maximal si $C$ est élément maximal de l’ensemble des cônes convexes pointés de sommet 0 et $\neq E$, ordonné par inclusion. Montrer que pour qu’un cône convexe pointé $C$ soit maximal, il faut et il suffit qu’il soit un demi-espace fermé déterminé par un hyperplan passant par 0. Pour établir ce résultat, on pourra prouver successivement les propriétés suivantes d’un cône convexe pointé maximal $C$ :

$\alpha$ On a $C \cup (-C) = E$ (raisonner par l’absurde).

$\beta$ Si $z$ est un point non interne (II, p. 28) de $C$, on a $-z \in C$ (même méthode). En déduire que $C$ contient des points internes.

$\gamma$ Le plus grand sous-espace vectoriel $H = C \cap (-C)$ contenu dans $C$ est un hyperplan. (En passant à l’espace quotient $F = E/H$, se ramener à démontrer, en utilisant $\beta$), que si tous les points de $C$ autres que le sommet sont internes, $E$ est nécessairement de dimension 1.)

$b$ Donner un exemple de cône convexe épointé maximal (dans l’ensemble des cônes convexes épointés de sommet 0) n’admettant aucun point interne (cf. II, p. 69, exerc. 5).