Bài tập 10, § 5

Trong không gian định chuẩn $E = l^1(\mathbf{N})$ của các dãy khả tổng của các số thực $x = (\xi_n)_{n \in \mathbf{N}}$, cho D là đường thẳng được xác định bởi các quan hệ $\xi_n = 0$ với $n \geq 1$. Chứng minh rằng tồn tại hai dãy tăng $(\alpha_n), (\beta_n)$ gồm các số thực > 0 sao cho tập lồi A được xác định bởi các bất đẳng thức $\xi_0 \geq |\alpha_n \xi_n - \beta_n|$ với $n \geq 1$ là đóng, không bị chặn, không gặp D và không có siêu phẳng đóng nào phân cách A với D (chọn $\alpha_n$ và $\beta_n$ sao cho $A - D$ là trù mật khắp nơi).