Exercice 10, § 5

Dans l’espace normé $E = l^1(\mathbf{N})$ des suites sommables de nombres réels $x = (\xi_n)_{n \in \mathbf{N}}$, soit D la droite définie par les relations $\xi_n = 0$ pour $n \geq 1$. Montrer qu’il existe deux suites croissantes $(\alpha_n), (\beta_n)$ de nombres réels $> 0$ telles que l’ensemble convexe A défini par les inégalités $\xi_0 \geq |\alpha_n \xi_n - \beta_n|$ pour $n \geq 1$ soit fermé, non borné, ne rencontre pas D et qu’il n’existe aucun hyperplan fermé séparant A et D (choisir $\alpha_n$ et $\beta_n$ de sorte que $A - D$ soit partout dense).