Bài tập 11, § 5

a) Cho E là một không gian Hilbert và F là một không gian con trù mật khắp của không gian đối ngẫu $E'$ của E, phân biệt với $E'$; quả cầu đơn vị B của E là compact đối với tôpô yếu $\sigma(E, F)$, và tồn tại một điểm $a$ của mặt cầu đơn vị mà qua đó không đi qua siêu phẳng đỡ đóng (trong $\sigma(E, F)$) nào của B. b) Trang bị cho E tôpô $\sigma(E, F)$ và xét, trong không gian tích $G = E \times \mathbf{R}$ tập hợp A gồm các cặp $(x, \zeta)$ sao cho $\|x\| < 1, \zeta \geq \|x\|/(1 - \|x\|)$. Chứng minh rằng A là đóng và compact địa phương, nhưng nếu D là đường thẳng có phương trình $x = a$ trong G thì $D \cap A = \varnothing$ và không tồn tại siêu phẳng đóng nào trong G tách A khỏi D. c) Chứng minh rằng, khi ta trang bị cho E tôpô $\sigma(E, F)$, tồn tại một hàm affine thực liên tục trên không gian con B của E, không phải là hạn chế của một hàm affine liên tục trên E. \*