Exercice 11, § 5

a) Soient E un espace hilbertien, F un sous-espace partout dense du dual $E'$ de E, distinct de $E'$; la boule unité B de E est compacte pour la topologie faible $\sigma(E, F)$, et il existe un point $a$ de la sphère unité par lequel ne passe aucun hyperplan d’appui fermé (pour $\sigma(E, F)$) de B. b) On munit E de $\sigma(E, F)$ et on considère dans l’espace produit $G = E \times \mathbf{R}$ l’ensemble A des couples $(x, \zeta)$ tels que $\|x\| < 1, \zeta \geq \|x\|/(1 - \|x\|)$. Montrer que A est fermé et localement compact, mais que si D est la droite d’équation $x = a$ dans G, on a $D \cap A = \varnothing$ et il n’existe aucun hyperplan fermé dans G séparant A et D. c) Montrer que, lorsqu’on munit E de $\sigma(E, F)$, il existe une fonction numérique affine continue dans le sous-espace B de E, mais qui n’est pas la restriction à B d’une fonction affine continue dans E. \*