Bài tập 20, § 5

Cho A, B là hai tập lồi đóng rời nhau trong một không gian lồi địa phương Hausdorff E và cho H là một siêu phẳng đóng phân cách A và B; giả sử rằng $A \cap H \neq \varnothing$ và rằng giao của $A \cap H$ với mọi đường thẳng là compact. Chứng minh rằng, nếu A hoặc B là địa phương compact, thì tồn tại một lân cận V của 0 trong E sao cho $(A + V) \cap B$ là rỗng. (Xét hai trường hợp tùy theo A hoặc B là địa phương compact; trong trường hợp thứ nhất, chú ý rằng tồn tại một siêu phẳng $H'$ song song với H sao cho, nếu S là tập hợp các điểm nằm giữa H và $H'$, thì $A \cap S$ là compact. Trong trường hợp thứ hai, giả sử chẳng hạn rằng $0 \in B \cap H$; với mọi lân cận V của 0 trong E, xét tập hợp $(A + V) \cap B$ và lần lượt xét trường hợp tập hợp này là tương đối compact với ít nhất một V hoặc trường hợp nó không như vậy, như trong Bài tập 16 của II, p. 67.)