Exercice 20, § 5

Dans un espace localement convexe séparé $E$, soient $A, B$ deux ensembles convexes fermés sans point commun, $H$ un hyperplan fermé séparant $A$ et $B$; on suppose que l’on a $A \cap H \neq \varnothing$ et que l’intersection de $A \cap H$ et de toute droite soit compacte. Montrer que si $A$ ou $B$ est localement compact, il existe un voisinage $V$ de $0$ dans $E$ tel que $(A + V) \cap B$ soit vide. (Distinguer deux cas suivant que $A$ ou $B$ est localement compact ; dans le premier cas, noter qu’il existe un hyperplan $H'$ parallèle à $H$ tel que, si $S$ est l’ensemble des points compris entre $H$ et $H'$, $A \cap S$ soit compact. Dans le second cas, supposer par exemple que $0 \in B \cap H$; pour tout voisinage $V$ de $0$ dans $E$, considérer l’ensemble $(A + V) \cap B$ et examiner successivement le cas où cet ensemble est relativement compact pour un $V$ au moins, et le cas où il n’en est pas ainsi, comme dans l’exerc. 16 de II, p. 71.)