Bài tập 22, § 5

Trong $\mathbf{R}^n$ cho $(C_i)_{1 \leq i \leq m}$ là một họ hữu hạn các nón lồi đóng với đỉnh 0, sao cho tổng của bất kỳ n trong số chúng đều phân biệt với $\mathbf{R}^n$. Chứng minh rằng tồn tại một siêu phẳng H, đi qua 0, sao cho, với mọi chỉ số i không có cặp điểm nào của $C_i$ bị H phân ly nghiêm ngặt. (Phân biệt hai trường hợp :

α) Hoặc tồn tại một số $r < n$ và r chỉ số, chẳng hạn 1, 2, ..., $r$, sao cho $C_i$ với $i \leq r$ sinh một nón chứa một không gian con vectơ V có chiều $\geq r$. Lập luận bằng quy nạp theo n, chiếu lên không gian trực giao với V.

β) Hoặc, với mọi $r < n$, bất kỳ r trong các $C_i$ sinh một nón C sao cho không gian con vectơ cực đại $C \cap (-C)$ được chứa trong C có chiều $< r$. Khi đó xét một tập hợp các nón $C_i$, cực đại đối với việc được chứa trong một nửa không gian; có ít nhất n nón trong một tập hợp cực đại. Gọi $\Gamma$ là nón sinh bởi hợp của các nón thuộc tập hợp cực đại này. Nếu $C_j$ là một nón không thuộc tập hợp cực đại đã xét, chứng minh rằng $C_i \subset -\Gamma$. Để làm điều này, lập luận bằng phản chứng, chứng minh rằng trong trường hợp ngược lại tồn tại một điểm biên của $-\Gamma$ (tương đối với không gian con vectơ sinh bởi $\Gamma$) là điểm trong của $C_j$ (tương đối với không gian con vectơ sinh bởi $C_j$). Viết một điểm như vậy thành tổng của số $s$ ít nhất các vectơ, trong đó mỗi vectơ thuộc một nón $-C_i$, trong số các $C_i$ được dùng để xác định $\Gamma$; khi đó $s \leq n-1$. Cuối cùng chứng minh rằng các nón này và $C_j$ sinh một nón lồi chứa một không gian con vectơ chiều $s+1$, mâu thuẫn với giả thiết; để làm điều này dùng bài tập 4 của II, p. 65.)