Exercice 22, § 5

Dans $\mathbf{R}^n$, soit $(C_i)_{1 \leq i \leq m}$ une famille finie de cônes convexes fermés de sommet $0$, tels que la somme de $n$ quelconques d’entre eux soit distincte de $\mathbf{R}^n$. Montrer qu’il existe un hyperplan $H$ passant par $0$, tel que, pour aucun des indices $i$, il n’y ait de couple de points de $C_i$ séparés strictement par $H$. (Distinguer deux cas :

α) Ou bien il existe un nombre $r < n$ et $r$ indices, par exemple 1, 2, ..., $r$, tels que les $C_i$ pour $i \leq r$ engendrent un cône qui contient un sous-espace vectoriel $V$ de dimension $\geq r$. Raisonner alors par récurrence sur $n$, en projetant sur l’orthogonal de $V$.

β) Ou bien, pour tout $r < n$, $r$ quelconques des $C_i$ engendrent un cône $C$ tel que le sous-espace vectoriel maximal $C \cap (-C)$ contenu dans $C$ soit de dimension $< r$. Considérer alors un ensemble maximal de cônes $C_i$, en nombre $\geq n$, contenus dans un demi-espace, et soit $\Gamma$ le cône convexe engendré par la réunion des cônes appartenant à cet ensemble maximal. Si $C_j$ est un cône n’appartenant pas à l’ensemble maximal considéré, prouver que $C_j \subset -\Gamma$. Pour cela, raisonner par l’absurde, en montrant que dans le cas contraire il existerait un point frontière de $-\Gamma$ (par rapport au sous-espace vectoriel engendré par $\Gamma$) et intérieur à $C_j$ (par rapport au sous-espace vectoriel engendré par $C_j$). Écrire un tel point comme somme d’un nombre minimum $s$ de vecteurs, dont chacun appartient à un cône $-C_i$, parmi les $C_i$ qui ont servi à définir $\Gamma$; on a $s \leq n - 1$. Prouver enfin que ces cônes et $C_j$ engendrent un cône convexe contenant un sous-espace vectoriel de dimension $s + 1$, contredisant l’hypothèse ; on utilisera pour cela l’exerc. 4 de II, p. 69.)