Bài tập 28, § 5

Cho $X$ là một tập con lồi compact của $E$ một không gian lồi địa phương Hausdorff, và cho $f$ là một hàm lồi nửa liên tục trên trong $X$. Chứng minh rằng tập hợp $L$ các hàm lồi liên tục $g$ trong $X$ sao cho $g(x) > f(x)$ với mọi $x \in X$ là có hướng giảm và bao dưới của nó bằng $f$. (Cho $u, v$ là các phần tử của $L$. Để xây dựng một phần tử của $L$ nhỏ hơn $u$ và $v$, dùng lập luận tương tự như trong mệnh đề 6, II, p. 40. Giải thích tập hợp $K_1$ tương tự như tập hợp $K$ trong lập luận này là tập hợp các điểm nằm phía trên đồ thị của một hàm nửa liên tục dưới nhỏ hơn $u$ và $v$ và lớn hơn nghiêm ngặt $f$ tại mọi điểm; áp dụng mệnh đề 5 của II, p. 39 và định lý Dini cho hàm này. Để chứng minh rằng bao dưới của $L$ là $f$, chú ý rằng $f$ bị chặn trên bởi một hằng $b$; $(x, t)$ là một điểm của $E \times \mathbf{R}$ nằm phía trên đồ thị của $f$, cho $K'$ là bao lồi của $\{ (x, t) \} \cup (X' \times \{ b \})$, trong đó $X'$ là một lân cận compact thích hợp của $x$ trong $X$; lập luận với $K'$ như trên đối với $K_1$.)