Exercice 28, § 5

Soient E un espace localement convexe séparé, X une partie convexe compacte de E, $f$ une fonction convexe semi-continue supérieurement dans X. Montrer que l’ensemble L des fonctions convexes continues $g$ dans X telles que l’on ait $g(x) > f(x)$ pour tout $x \in X$ est filtrant décroissant et que son enveloppe inférieure est égale à $f$. (Soient $u$, $v$ des éléments de L. Pour construire un élément de L qui minore $u$ et $v$, on utilisera un raisonnement analogue à celui de la prop. 6 de II, p. 43. On interprétera l’ensemble $K_1$ analogue à l’ensemble K de ce raisonnement comme l’ensemble des points situés au-dessus du graphe d’une fonction convexe semi-continue inférieurement qui minore $u$ et $v$ et majore strictement $f$ en tout point ; on appliquera à cette fonction la prop. 5 de II, p. 42, et le th. de Dini. Pour montrer que l’enveloppe inférieure de L est $f$, on remarquera que $f$ est majorée par une constante $b$; $(x, t)$ étant un point de $E \times \mathbf{R}$ situé au-dessus du graphe de $f$, soit $K'$ l’enveloppe convexe de $\{(x, t)\} \cup (\bar{X}' \times \{b\})$, où $X'$ est un voisinage compact convenable de $x$ dans $X$; on raisonnara sur $K'$ comme ci-dessus pour $K_1$.)