Bài tập 6, § 5

Cho $A$ là một tập hợp đóng trong $\mathbf{R}^n$ với các tính chất sau; với mọi $x \in \mathbf{R}^n$, tồn tại duy nhất một điểm $y \in A$ sao cho $d(x, y) = d(x, A)$, trong đó $d$ là khoảng cách Euclid. Chứng minh rằng $A$ là lồi. (Lập luận bằng phản chứng, xét một đoạn đóng với các đầu mút $a, b$ thuộc $A$ chứa một điểm $c \in \mathscr{C} A$; có một quả cầu đóng $B$ tâm $c$ được chứa trong $\mathscr{C} A$; xét tập hợp $\mathscr{B}$ các quả cầu đóng $S$ chứa $B$ và có phần trong không giao với $A$; chứng minh rằng các bán kính của các quả cầu này bị chặn trên, và suy ra rằng tồn tại một trong các quả cầu này $S_0$ có bán kính $\rho$ là lớn nhất có thể. Sau đó thu được một mâu thuẫn bằng cách chứng minh rằng $S_0$ chỉ có thể gặp $A$ tại một điểm duy nhất, và điều này suy ra sự tồn tại trong $\mathscr{B}$ của một quả cầu có bán kính $> \rho$.)