Exercice 6, § 5

Soit A un ensemble fermé dans $\mathbf{R}^n$ ayant la propriété suivante : pour tout $x \in \mathbf{R}^n$, il existe un point et un seul $y \in A$ tel que $d(x, y) = d(x, A)$, où d est la distance euclidienne. Montrer que A est convexe. (Raisonner par l’absurde, en considérant un segment fermé d’extrémités a, b dans A contenant un point $c \in \mathscr{C}A$; il y a une boule fermée B de centre c contenue dans $\mathscr{C}A$; considérer l’ensemble $\mathscr{B}$ des boules fermées S contenant B et dont l’intérieur ne rencontre pas A ; montrer que les rayons de ces boules sont majorés, et en déduire qu’il existe une de ces boules $S_0$ dont le rayon $\rho$ est le plus grand possible. Obtenir alors une contradiction en prouvant que $S_0$ ne peut rencontrer A qu’en un seul point, et que cela entraîne l’existence dans $\mathscr{B}$ d’une boule de rayon $> \rho$.)