Bài tập 11, § 6

Cho F, G là hai không gian vectơ trong đối ngẫu tách. Một siêu lọc $\mathscr{U}$ trên F hội tụ yếu đến một điểm $x_0$ khi và chỉ khi $x_0$ thuộc giao của tất cả các tập lồi đóng yếu thuộc $\mathscr{U}$ (chú ý rằng nếu $x_0$ là một điểm của giao này nhưng không là điểm tụ của $\mathscr{U}$, thì tồn tại một nửa không gian đóng thuộc $\mathscr{U}$ và không chứa $x_0$). Suy ra từ kết quả này rằng, để một dãy điểm $(x_n)$ của F hội tụ yếu đến một điểm $a$, điều kiện cần và đủ là $a$ thuộc tất cả các bao lồi đóng yếu của các tập hợp được tạo bởi vô hạn số hạng của dãy (dùng Mệnh đề 7 của GT, I, § 6 . 4).