Bài tập 14, § 7

Cho E là một không gian con vectơ đóng của không gian Banach $l^\infty(\mathbf{N})$, tạo thành bởi các dãy $x = (\xi_n)$ sao cho $\lim_{n \to \infty} \xi_n = 0$. a) Chứng minh rằng, trong không gian Banach E, quả cầu đơn vị đóng B không có điểm cực nào. b) Cho u là dạng tuyến tính liên tục $(\xi_n) \mapsto \sum_n 2^{-n} \xi_n$ trên E. Chứng minh rằng không tồn tại siêu phẳng tựa nào của B song song với siêu phẳng đóng có phương trình $u(x) = 0$.