Bài tập 13, § 4

a) Cho E là một không gian barrel, $(C_n)$ là một dãy tăng các tập hợp lồi, cân bằng sao cho $E = \bigcup_n C_n$. Cho U là một tập hợp lồi, cân bằng và hấp thụ sao cho với mọi n, $U \cap C_n$ là đóng trong $C_n$. Chứng minh rằng U là một lân cận của 0 trong E. (Chứng minh rằng $\overline{U} \subset 2U$, bằng cách xét một lọc $\mathfrak{F}$ trên U hội tụ đến một điểm $x \in E$ và áp dụng Bài tập 12, c)).

b) Cho E là một không gian barrel, $(E_n)$ là một dãy tăng các không gian con của E sao cho $E = \bigcup_n E_n$.

Chứng minh rằng nếu U là một tập con của E sao cho $U \cap E_n$ là một barrel trong $E_n$ với mọi n, thì U là một lân cận của 0 trong E. Đặc biệt, E là giới hạn quy nạp ngặt (II, p. 33) của dãy $(E_n)$.