Exercice 13, § 4

a) Soient E un espace tonnelé, $(C_n)$ une suite croissante d’ensembles convexes équilibrés telle que $E = \bigcup_n C_n$. Soit U un ensemble convexe, équilibré et absorbant tel que, pour tout $n$, $U \cap C_n$ soit fermé dans $C_n$. Montrer que U est un voisinage de 0 dans E. (Montrer que $\overline{U} \subset 2U$, en considérant un filtre $\mathfrak{F}$ sur U convergeant vers un point $x \in E$ et appliquant l’exerc. 12, c.).)

b) Soient E un espace tonnelé, $(E_n)$ une suite croissante de sous-espaces de E telle que $E = \bigcup_n E_n$. Montrer que si U est une partie de E telle que $U \cap E_n$ soit un tonneau dans $E_n$ pour tout n, alors U est un voisinage de 0 dans E. En particulier, E est limite inductive stricte (II, p. 36) de la suite $(E_n)$.