Bài tập 14, § 4

a) Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff, L là một không gian con của E có đối chiều hữu hạn, và T là một tập thùng trong L. Chứng minh rằng tồn tại một tập thùng $T'$ trong E sao cho $T' \cap L = T$ (chứng minh rằng ta có thể lấy $T'$ là tổng của bao đóng $\overline{T}$ của T trong E và của một tập lồi compact hữu hạn chiều). b) Cho E là một không gian thùng, L là một không gian con của E, có một phần bù có một cơ sở đếm được. Chứng minh rằng L là không gian thùng (sử dụng a) và bài tập 13, b)). \* c) Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff; hoàn thành của nó $\hat{E}$ có thể được đồng nhất với một

EXERCISES

không gian con đóng của một không gian thùng F, là tích của một họ các không gian Fréchet (II, p. 5, prop. 3 và IV, p. 14, hệ quả). Cho $(e_\alpha)_{\alpha \in A}$ là cơ sở của một phần bù trong F của không gian con E, và cho $H_\alpha$ là siêu phẳng trong F sinh bởi E và các $e_\beta$ với các chỉ số $\beta \neq \alpha$; theo b), $H_\alpha$ là một không gian thùng. Với mọi $x \in E$, cho $u(x)$ là điểm của không gian thùng $G = \prod_{\alpha \in A} H_\alpha$ (không gian con của $F^A$) mà tất cả các tọa độ của nó đều bằng $x$; $u$ là một đẳng cấu từ E lên không gian con $\Delta \cap G$, trong đó $\Delta$ là đường chéo trong $F^A$. Chứng minh rằng $u(E) = \Delta \cap G$ là đóng trong G, và do đó rằng mọi không gian lồi địa phương Hausdorff là đẳng cấu với một không gian con đóng của một không gian thùng Hausdorff. \*