Exercice 14, § 4

a) Soient E un espace localement convexe séparé, L un sous-espace de E de codimension finie, et T un tonneau dans L. Montrer qu’il existe dans E un tonneau $T'$ tel que $T' \cap L = T$ (montrer qu’on peut prendre pour $T'$ la somme de l’adhérence $\overline{T}$ de T dans E et d’un ensemble convexe compact de dimension finie). b) Soient E un espace tonnelé, L un sous-espace de E admettant un supplémentaire ayant une base dénombrable. Montrer que L est tonnelé (utiliser a) et l’exerc. 13, b)). \* c) Soit E un espace localement convexe séparé ; son complété $\hat{E}$ peut être identifié à un sous-espace fermé d’un espace tonnelé F, produit d’une famille d’espaces de Fréchet (II, p. 5, prop. 3 et IV, p. 14, cor.). Soit $(e_\alpha)_{\alpha \in A}$ une base d’un supplémentaire dans F du sous-espace E, et soit $H_\alpha$ l’hyperplan de F engendré par E et les $e_\beta$ d’indice $\beta \neq \alpha$; $H_\alpha$ est un espace tonnelé par b). Pour tout $x \in E$, soit $u(x)$ le point de l’espace tonnelé $G = \prod_{\alpha \in A} H_\alpha$ (sous-espace de $F^A$) dont toutes les coordonnées sont égales à $x$; $u$ est un isomorphisme de E sur le sous-espace $\Delta \cap G$, où $\Delta$ est la diagonale de $F^A$. Montrer que $u(E) = \Delta \cap G$ est fermé dans G, et par suite que tout espace localement convexe séparé est isomorphe à un sous-espace fermé d’un espace tonnelé séparé. \*