Bài tập 16, § 4

Cho $(E_i)_{i \in I}$ là một họ không đếm được các không gian Hausdorff thùng, không gian nào trong số đó cũng khác điểm 0, và cho $E = \prod_{i \in I} E_i$; khi đó E là thùng (IV, p. 14, hệ quả). Cho G là không gian con của E gồm tất cả các điểm $(x_i)$ sao cho $x_i = 0$ ngoại trừ một số đếm được các chỉ số. Mọi dãy các điểm của G hội tụ trong E đều có một giới hạn thuộc G, nhưng G trù mật trong E. a) Chứng minh rằng mọi tập con M của $G' = E'$, bị chặn đối với $\sigma(E', G)$, đều được chứa trong một tích hữu hạn $\prod_{i \in H} E'_i$ (IV, p. 12, Mệnh đề 13), trong đó H là một tập con hữu hạn của I; do đó M bị chặn đối với $\sigma(E', E)$. Suy ra từ điều này rằng G là thùng. b) Cho F là một không gian con của E sao cho $G \subset F \subset E$ và sao cho G là một siêu phẳng (trù mật khắp nơi) trong F ; F là thùng (Bài tập 15). Chứng minh rằng F không là không gian bornological. (Lập luận bằng quy về điều vô lý ; nếu tồn tại một tập hợp lồi, cân bằng và bị chặn A trong F sao cho G là một siêu phẳng trù mật khắp nơi trong không gian chuẩn $F_A$ (III, p. 7), thì sẽ tồn tại một dãy các điểm của G hội tụ đến một điểm của F không thuộc G) (cf. IV, p. 52, Bài tập 2). \*