Exercice 16, § 4

Soit $(E_i)_{i \in I}$ une famille non dénombrable d’espaces tonnelés séparés non réduits à 0, et soit $E = \prod_{i \in I} E_i$, qui est tonnelé (IV, p. 14, cor.). Soit G le sous-espace de E formé des points $(x_i)$ tels que $x_i = 0$ sauf pour un ensemble dénombrable d’indices. Toute suite de points de G qui converge dans E a une limite appartenant à G, mais G est dense dans E. a) Montrer que toute partie M de $G' = E'$, bornée pour $\sigma(E', G)$, est contenue dans un produit fini $\prod_{i \in H} E'_i$ (IV, p. 12, prop. 13), où H est une partie finie de I ; par suite M est bornée pour $\sigma(E', E)$. En déduire que G est tonnelé. b) Soit F un sous-espace de E tel que $G \subset F \subset E$ et que G soit un hyperplan (partout dense) dans F ; F est tonnelé (exerc. 15). Montrer que F n’est pas bornologique. (Raisonner par l’absurde : il y aurait un ensemble borné, convexe et équilibré A dans F tel que G soit un hyperplan partout dense dans l’espace normé $F_A$ (III, p. 7), donc une suite de points de G qui convergerait vers un point de F n’appartenant pas à G.) (cf. IV, p. 52, exerc. 2.)