Bài tập 17, § 4

a) Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff, L là một không gian con vectơ của E có đối chiều hữu hạn, và T là một thùng bornivore trong L. Chứng minh rằng tồn tại một thùng bornivore T' trong E sao cho $T' \cap L = T$. (Rút gọn về trường hợp L là một siêu phẳng trong E. Cho $E_0$ là không gian bornologique liên kết với E (III, p. 40, exerc. 1), $L_0$ là siêu phẳng L với tôpô cảm sinh bởi tôpô của $E_0$; nhận xét rằng T là một lân cận của 0 trong $L_0$ và xét hai trường hợp sau: $L_0$ trù mật trong $E_0$, hoặc đóng trong $E_0$; chứng minh rằng đối với T' ta có thể lấy bao đóng $\overline{T}$ của T trong E hoặc tổng của T và một tập hợp lồi compact có chiều 1). b) Cho E là một không gian infrabarrelled, L là một không gian con vectơ của E có đối chiều hữu hạn. Suy ra từ a) rằng L là infrabarrelled (cf. IV, p. 64, exerc. 11).