Exercice 17, § 4

a) Soient E un espace localement convexe séparé, L un sous-espace vectoriel de E de codimension finie, T un tonneau bornivore dans L. Montrer qu’il existe un tonneau bornivore $T'$ dans E tel que $T' \cap L = T$. (Se ramener au cas où L est un hyperplan dans E. Soient $E_0$ l’espace bornologique associé à E (III, p. 41, exerc. 1), $L_0$ l’hyperplan L muni de la topologie induite par celle de $E_0$ ; remarquer que T est un voisinage de 0 dans $L_0$ et considérer deux cas suivant que $L_0$ est dense dans $E_0$ ou fermé dans $E_0$ ; montrer que l’on peut prendre pour $T'$ l’adhérence $\overline{T}$ de T dans E ou la somme de T et d’un ensemble convexe compact de dimension 1). b) Soient E un espace infratonnelé, L un sous-espace vectoriel de E de codimension finie. Déduire de a) que L est infratonnelé (cf. IV, p. 64, exerc. 11).