Bài tập 18, § 4

Cho E là một không gian giới hạn quy nạp ngặt của một dãy tăng $(E_n)$ các không gian con lồi địa phương mêtric hóa (II, p. 33), và cho F là một không gian con vectơ của E sao cho mọi điểm của E là điểm giới hạn của một dãy các điểm của F. a) Nếu $\overline{E}_n$ là bao đóng của $E_n$ trong E, thì E là giới hạn quy nạp ngặt của dãy $(\overline{E}_n)$. Cho $F_n$ là bao đóng của $F \cap \overline{E}_n$ trong E. Chứng minh rằng E là hợp của dãy tăng các không gian con $F_n$. b) Giả sử E là không gian thùng. Chứng minh rằng F là bornological. (Cho $u$ là một ánh xạ tuyến tính từ F vào một không gian Banach G biến mọi tập con bị chặn của F thành một tập con bị chặn của G. Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ tuyến tính từ E vào G, có hạn chế trên F bằng $u$, và có hạn chế trên mỗi $F_n$ là liên tục. Cuối cùng dùng Bài tập 13, b) của III, p. 44.)