Exercice 18, § 4

Soit E un espace limite inductive stricte d’une suite croissante $(E_n)$ de sous-espaces localement convexes métrisables (II, p. 36), et soit F un sous-espace vectoriel de E tel que tout point de E soit limite d’une suite de points de F. a) Si $\overline{E}_n$ est l’adhérence de $E_n$ dans E, E est limite inductive stricte de la suite $(\overline{E}_n)$. Soit $F_n$ l’adhérence de $F \cap \overline{E}_n$ dans E. Montrer que E est réunion de la suite croissante des sous-espaces $F_n$.

b) On suppose que E est tonnelé. Montrer que F est bornologique. (Soit u une application linéaire de F dans un espace de Banach G transformant toute partie bornée de F en une partie bornée de G. Montrer qu’il existe une application linéaire v de E dans G, dont la restriction à F est égale à u, et dont la restriction à chaque F_n est continue. Utiliser enfin l’exerc. 13, b) de III, p. 45.)