Bài tập 19, § 4

Một không gian lồi địa phương Hausdorff $E$ được gọi là siêu bornological nếu mọi tập lồi của $E$ hấp thụ mọi tập lồi, cân bằng, bị chặn và nửa đầy đủ của $E$ đều là một lân cận của $0$ trong $E$. a) Chứng minh rằng mọi không gian siêu bornological đều vừa bornological vừa barrelled. b) Cho $E$ là một không gian lồi địa phương Hausdorff sao cho bao đóng, lồi, cân bằng của tập các điểm của mọi dãy hội tụ về $0$ đều nửa đầy đủ. Chứng minh rằng nếu $E$ là bornological thì nó là siêu bornological. Đặc biệt, mọi không gian bornological và gần đầy đủ đều là siêu bornological; mọi không gian Fréchet đều là siêu bornological.

c) Cho $(E_\alpha)$ là một họ có hướng, tăng của các không gian vectơ con của một không gian vectơ $E$ sao cho, $E$ là hợp của các $E_\alpha$. Với mỗi $\alpha$, cho $\mathscr{T}_\alpha$ là một tôpô lồi địa phương trên $E_\alpha$, và cho $\mathscr{T}$ là tôpô lồi địa phương mịn nhất sao cho các ánh xạ tiêm chính tắc từ $E_\alpha$ vào $E$ là liên tục. Giả sử $\mathscr{T}$ là Hausdorff và với mọi $\alpha$, tôpô trên $E_\alpha$ cảm sinh bởi $\mathscr{T}$ là $\mathscr{T}_\alpha$. Chứng minh rằng nếu mỗi không gian $E_\alpha$ đều là siêu bornological, thì $E$ với $\mathscr{T}$ là siêu bornological.

d) Chứng minh rằng mọi tích hữu hạn của các không gian siêu bornological đều là siêu bornological; suy ra rằng mọi tổng trực tiếp tôpô của các không gian siêu bornological đều là siêu bornological.

e) Chứng minh rằng không gian tích $E = \sum_{n=0}^\infty E_n$ của một dãy vô hạn các không gian siêu bornological là siêu bornological. (Cho $A$ là một tập lồi của $E$ hấp thụ mọi tập lồi, cân bằng, bị chặn và nửa đầy đủ của $E$. Chứng minh rằng nếu $A$ không là một lân cận của $0$ trong $E$, thì tồn tại một dãy $(x_n)$ trong $A$ sao cho $x_n$ có $n-1$ tọa độ đầu tiên bằng không, nhưng $x_n\neq 0$. Tiếp theo, nhận thấy rằng bao đóng, lồi, cân bằng của tập các điểm của một dãy như vậy trùng với tập các điểm $\sum_{n=0}^\infty \lambda_n x_n$, trong đó $\sum_{n=0}^\infty |\lambda_n| \leq 1$, và bao này là một tập nửa đầy đủ.)