Exercice 19, § 4

On dit qu’un espace localement convexe séparé E est ultrabornologique si toute partie convexe de E qui absorbe toutes les parties convexes équilibrées, bornées et semi-complètes de E est un voisinage de 0 dans E. a) Montrer que tout espace ultrabornologique est à la fois bornologique et tonnelé. b) Soit E un espace localement convexe séparé tel que l’enveloppe fermée convexe équilibrée de l’ensemble des points de toute suite tendant vers 0 soit semi-complète. Montrer que si E est bornologique, il est ultrabornologique. En particulier, tout espace bornologique et quasi-complet est ultrabornologique ; tout espace de Fréchet est ultrabornologique. c) Soit (E_α) une famille filtrante croissante de sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E, tel que E soit réunion des E_α. Sur chaque E_α, soit T_α une topologie localement convexe, et soit T la topologie localement convexe la plus fine rendant continues les injections canoniques des E_α dans E. On suppose que T est séparée et que, pour tout α, la topologie induite sur E_α par T est T_α. Montrer que si chacun des espaces E_α est ultrabornologique, E, muni de T, est ultrabornologique. d) Montrer que tout produit fini d’espaces ultrabornologiques est ultrabornologique ; en déduire que toute somme directe topologique d’espaces ultrabornologiques est ultrabornologique. e) Montrer que l’espace produit E = $\prod_{n=0}^{\infty} E_n$ d’une suite infinie d’espaces ultrabornologiques est ultrabornologique. (Soit A une partie convexe de E absorbant toutes les parties convexes, équilibrées, bornées et semi-complètes de E. Montrer que, si A n’était pas un voisinage de 0 dans E il existerait dans $\mathscr{C}$ A une suite (x_n) telle que x_n ait ses n – 1 premières coordonnées nulles, mais soit $\neq 0$. Remarquer ensuite que l’enveloppe fermée convexe équilibrée de l’ensemble des points d’une telle suite est identique à l’ensemble des points $\sum_{n=0}^{\infty} \lambda_n x_n$, où $\sum_{n=0}^{\infty} |\lambda_n| \leq 1$, et que cette enveloppe est un ensemble semi-complet.)