Bài tập 20, § 4

Chứng minh rằng, đối với một không gian lồi địa phương Hausdorff $E$, để $E$ là siêu bornological thì điều kiện cần và đủ là nó là giới hạn quy nạp của một họ các không gian Banach. (Để thấy rằng điều kiện là cần, hãy xét các tập hợp lồi, cân bằng, bị chặn và nửa đầy đủ $B$ trong $E$, và các không gian $E_B$. Để thấy rằng điều kiện là đủ, hãy nhận xét rằng nếu $E$ là giới hạn quy nạp của một họ các không gian Banach $E_\alpha$, ta có thể giả sử rằng các $E_\alpha$ là các không gian con (đại số) của $E$; nếu $V$ là một tập hợp lồi trong $E$ hấp thụ các tập con lồi, cân bằng, bị chặn và nửa đầy đủ của $E$, hãy chứng minh rằng $V$ hấp thụ mỗi quả cầu $B_\alpha$ của $E_\alpha$ (lập luận bằng phản chứng); nếu $V$ không hấp thụ $B_\alpha$, thì nó không hấp thụ một dãy $(x_n)$ các điểm của $B_\alpha$, hội tụ về 0 trong $E$; khi đó sử dụng sự kiện rằng trong một không gian Banach, bao lồi đóng của một tập compact là compact.)