Exercice 20, § 4

Montrer que, pour qu’un espace localement convexe séparé E soit ultrabornologique, il faut et il suffit qu’il soit limite inductive d’une famille d’espaces de Banach. (Pour voir que la condition est nécessaire, considérer dans E les ensembles convexes équilibrés, bornés et semi-complets B, et les espaces E_B. Pour voir qu’elle est suffisante, noter que si E est limite inductive d’une famille d’espaces de Banach E_α, on peut supposer que les E_α sont (algébriquement) des sous-espaces de E ; si V est un ensemble convexe dans E qui absorbe les parties convexes équilibrées, bornées et semi-complètes de E, montrer que V absorbe chaque boule B_α de E_α en raisonnant par l’absurde ; si V n’absorbait pas B_α, il n’absorberait pas une suite (x_n) de points de B_α tendant vers 0 dans E_α ; utiliser alors le fait que dans un espace de Banach l’enveloppe convexe fermée d’un ensemble compact est compacte.)