Bài tập 3, § 4

Cho E là một không gian lồi địa phương Hausdorff với một cơ sở đếm được vô hạn $(a_n)$. a) Chứng minh rằng E thừa nhận một cơ sở đếm được, độc lập tôpô $(e_n)$ (sử dụng sự kiện rằng mọi đường thẳng trong E đều có một phần bù tôpô, định nghĩa các $e_n$ bằng quy nạp). b) Chứng minh rằng, để E là thùng, điều kiện cần và đủ là tôpô $\mathscr{T}$ của E trùng với tôpô lồi địa phương mịn nhất trên E (nhận xét rằng bao lồi cân bằng của mọi dãy $(\lambda_n e_n)$ là đóng trong E). Đặc biệt, nếu $\mathscr{T}$ là mêtric hóa được, thì E không là thùng (xem Bài tập 2).