Exercice 3, § 4

Soit E un espace localement convexe séparé admettant une base dénombrable infinie $(a_n)$. a) Montrer que E admet une base dénombrable $(e_n)$ topologiquement libre (définir les $e_n$ par récurrence en utilisant le fait que toute droite dans E admet un supplémentaire topologique). b) Montrer que, pour que E soit tonnelé, il faut et il suffit que la topologie $\mathscr{T}$ de E soit identique à la topologie localement convexe la plus fine sur E (remarquer que l’enveloppe convexe équilibrée de toute suite $(\lambda_n e_n)$ est fermée dans E). En particulier, si $\mathscr{T}$ est métrisable, E n’est pas tonnelé (cf. exerc. 2).