Bài tập 4, § 4

Cho E là một không gian Banach trong đó tồn tại một dãy độc lập đại số vô hạn $(a_n)$ toàn phần trong E (ví dụ không gian $\ell^1(\mathbf{N})$ (I, p. 4)). Cho B là một cơ sở của E chứa các $a_n$; ta biết (II, p. 80, bài tập 24) rằng B không đếm được. Cho $(e_n)$ là một dãy các phần tử phân biệt của B, và phân biệt với các $a_n$, và cho C là phần bù của tập hợp các $e_n$ trong B. Cho $F_n$ là không gian con vectơ của E sinh bởi C và các $e_k$ với các chỉ số $k \leq n$; E là hợp của các $F_n$. Cho S là quả cầu đơn vị trong E; chứng minh rằng tồn tại một chỉ số n sao cho $S \cap F_n$, không phải là một tập hợp loại thứ nhất. Suy ra rằng với giá trị n này, $F_n$ là một không gian Baire mêtric hóa được, không đầy đủ.