Exercice 4, § 4

Soit E un espace de Banach dans lequel il existe une suite infinie algébriquement libre $(a_n)$ qui soit totale dans E (par exemple l’espace $\ell^1(\mathbf{N})$ (I, p. 4)). Soit B une base de E contenant les $a_n$; on sait (II, p. 85, exerc. 24) que B est non dénombrable. Soit $(e_n)$ une suite d’éléments de B, deux à deux distincts et distincts des $a_n$, et soit C le complémentaire dans B de l’ensemble des $e_n$. Soit $F_n$ le sous-espace vectoriel de E engendré par C et les $e_k$ d’indice $k \leq n$; E est réunion des $F_n$. Soit S la boule unité dans E ; montrer qu’il existe un indice n tel que $S \cap F_n$ soit non maigre. En déduire que, pour cette valeur de n, $F_n$ est un espace de Baire métrisable et non complet.