Bài tập 6, § 4

Một không gian lồi địa phương E được gọi là tương đối bị chặn nếu tồn tại một thùng bị chặn trong E. a) Để E tương đối bị chặn, điều kiện cần và đủ là tôpô của E thô hơn một tôpô được xác định bởi một nửa chuẩn. Khi đó tồn tại một cơ sở cho bornology chính tắc của E gồm các thùng. b) Để E là bornological và tương đối bị chặn, điều kiện cần và đủ là tôpô của E là cận dưới của một họ các tôpô của không gian chuẩn trên E (cf. III, p. 40, Bài tập 1). Hơn nữa, để đồng thời tồn tại một cơ sở đếm được cho bornology chính tắc của E, điều kiện cần và đủ là tôpô của E là cận dưới của một dãy các tôpô của không gian chuẩn.