Exercice 6, § 4

On dit qu’un espace localement convexe E est relativement borné s’il existe dans E un tonneau borné. a) Pour que E soit relativement borné, il faut et il suffit que la topologie de E soit moins fine qu’une topologie définie par une semi-norme. Il existe alors une base de la bornologie canonique de E, formée de tonneaux. b) Pour que E soit bornologique et relativement borné, il faut et il suffit que la topologie de E soit borne inférieure d’une famille de topologies d’espace normé sur E (cf. III, p. 41, exerc. 1). Pour qu’il existe en outre une base dénombrable de la bornologie canonique de E, il faut et il suffit que la topologie de E soit borne inférieure d’une suite de topologies d’espace normé.