Bài tập 1, § 2

$a$) Cho $E$ là một không gian lồi địa phương Hausdorff, và $E'$ là đối ngẫu của nó. Chứng minh rằng các tính chất sau là tương đương : $\alpha$ $E$ là infra-barrelled (III, p. 44, exerc. 7). $\beta$ Mọi tập con bị chặn mạnh trong $E'$ đều là liên tục đều. $\gamma$ Mọi tập con bị chặn mạnh trong $E'$ đều tương đối compact yếu, và tôpô ban đầu của $E$ là $\tau(E, E')$. $\delta$ Tôpô cảm sinh trên $E$ bởi tôpô mạnh của đối ngẫu kép $E''$ là đồng nhất với tôpô ban đầu trên $E$. Khi đó một hệ cơ bản các lân cận của 0 đối với tôpô mạnh của $E''$ gồm các bao đóng, đối với tôpô $\sigma(E'', E')$, của một hệ cơ bản các lân cận của 0 đối với tôpô ban đầu của $E$. b) Chứng minh rằng nếu $E$ là infra-barrelled và nếu đối ngẫu của nó $E'$ đồng nhất với đối ngẫu đại số của nó $E^*$, thì tôpô ban đầu của $E$ là tôpô lồi địa phương mạnh nhất.